Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα Μαθηματικά Ε΄ Δημοτικού. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Πώς μπορώ να γράψω αλλιώς τους παρακάτω δεκαδικούς αριθμούς:
11, 35 ευρώ, 4, 78 μ., 10, 5 ώρες
11, 35 = 11 ευρώ και 35 λεπτά
4 μέτρα και 78 εκατοστά
Εδώ προσοχή! 10, 5 =10 ώρες και 30 λ.
Γιατί άραγε συμβαίνει αυτό;
1 ώρα = 60 λεπτά, επομένως 0,5 ώρες = 30 λεπτά
Ο τρόπος γραφής των παραπάνω αριθμών ονομάζεται γραφή των συμμιγών αριθμών. Οι συμμιγείς αριθμοί ανήκουν στο ίδιο μέγεθος και γράφονται με τις υποδιαιρέσεις ή τα πολλαπλάσια των μονάδων τους. Τα τμήματα από τα οποία αποτελούνται είναι ανεξάρτητα.
Για παράδειγμα
Τα 4, 78 μ. εκφράζουν το μέγεθος του μήκους το οποίο μπορώ να γράψω με τις υποδιαιρέσεις ή τα πολλαπλάσια των μονάδων του μήκους.
Πώς μπορώνα κάνω πρόσθεση ή αφαίρεση συμμιγών αριθμών;
Παράδειγμα:
Η έναρξη ενός ποδοσφαιρικού αγώνα είναι στις 20 : 45 το βράδυ. Ο αγώνας θα τελειώσει στις 22 : 30. Πόση είναι η διάρκεια του αγώνα μαζί με το διάλειμμα;
11, 35 ευρώ, 4, 78 μ., 10, 5 ώρες
11, 35 = 11 ευρώ και 35 λεπτά
4 μέτρα και 78 εκατοστά
Εδώ προσοχή! 10, 5 =10 ώρες και 30 λ.
Γιατί άραγε συμβαίνει αυτό;
1 ώρα = 60 λεπτά, επομένως 0,5 ώρες = 30 λεπτά
Ο τρόπος γραφής των παραπάνω αριθμών ονομάζεται γραφή των συμμιγών αριθμών. Οι συμμιγείς αριθμοί ανήκουν στο ίδιο μέγεθος και γράφονται με τις υποδιαιρέσεις ή τα πολλαπλάσια των μονάδων τους. Τα τμήματα από τα οποία αποτελούνται είναι ανεξάρτητα.
Για παράδειγμα
Τα 4, 78 μ. εκφράζουν το μέγεθος του μήκους το οποίο μπορώ να γράψω με τις υποδιαιρέσεις ή τα πολλαπλάσια των μονάδων του μήκους.
Πώς μπορώνα κάνω πρόσθεση ή αφαίρεση συμμιγών αριθμών;
Παράδειγμα:
Η έναρξη ενός ποδοσφαιρικού αγώνα είναι στις 20 : 45 το βράδυ. Ο αγώνας θα τελειώσει στις 22 : 30. Πόση είναι η διάρκεια του αγώνα μαζί με το διάλειμμα;
Λύση
Ξεκινώ πρώτα από τις μικρότερες μονάδες που εκφράζονται σε λεπτά. Λέω 30 να αφαιρέσω 45 δε γίνεται. Δανείζομαι 1 ώρα από τις διπλανές 22. Οι 22 ώρες θα γίνουν 21(διαγράφω το 22 και από πάνω γράφω 21). Την ώρα που δανείζομαι τη μετατρέπω σε λεπτά (60 λεπτά). Δανείστηκα 60 λεπτά και 30 που είχα 90. Διαγράφω τα 30 λεπτά και πάνω από το 30 γράφω 90. Έπειτα κάνω την αφαίρεση κανονικά. 90 να βγάλω 45 μου κάνουν 45. Στη συνέχεια λέω 21 ώρες να βγάλω 20 μου κάνουν 1. Επομένως, η διάρκεια του ποδοσφαιρικού αγώνα μαζί με το διάλειμμα θα είναι 1 ώρα και 45 λεπτά.
Οι μονάδες του χρόνου ξεκινώντας από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη είναι:
Το δευτερόλεπτο
Το λεπτό
Η ώρα
Το εικοσιτετράωρο ή η μέρα
Η εβδομάδα
Ο μήνας
Το έτος ή χρόνος
Ο αιώνας
Η χιλιετία
Μετατροπές των μονάδων του χρόνου
Το δευτερόλεπτο
Το λεπτό = 60 δευτερόπλεπτα
Η ώρα=60 λεπτά= 60 Χ 60 = 3.600 δευτερόλεπτα
Το εικοσιτετράωρο ή η μέρα= 24 ώρες = 24 Χ 60 = 1440 λεπτά
Η εβδομάδα = 7 εικοσιτετράωρα ή μέρες = 148 ώρες
Ο μήνας = 30 ή 31 μέρες και 28 ή 29 ο Φεβρουάριος (έχει επικρατήσει όμως να μετριέται 30 μέρες)
Το έτος ή χρόνος = 12μήνες = 365 ή 366 μέρες = 365 Χ 24 = 8.670 ώρες
Ο αιώνας = 100 έτη = 1200 μήνες = 36.500 μέρες
Η χιλιετία = 10 αιώνες = 1000 έτη = 1.200.000 μήνες
Το δευτερόλεπτο
Το λεπτό
Η ώρα
Το εικοσιτετράωρο ή η μέρα
Η εβδομάδα
Ο μήνας
Το έτος ή χρόνος
Ο αιώνας
Η χιλιετία
Μετατροπές των μονάδων του χρόνου
Το δευτερόλεπτο
Το λεπτό = 60 δευτερόπλεπτα
Η ώρα=60 λεπτά= 60 Χ 60 = 3.600 δευτερόλεπτα
Το εικοσιτετράωρο ή η μέρα= 24 ώρες = 24 Χ 60 = 1440 λεπτά
Η εβδομάδα = 7 εικοσιτετράωρα ή μέρες = 148 ώρες
Ο μήνας = 30 ή 31 μέρες και 28 ή 29 ο Φεβρουάριος (έχει επικρατήσει όμως να μετριέται 30 μέρες)
Το έτος ή χρόνος = 12μήνες = 365 ή 366 μέρες = 365 Χ 24 = 8.670 ώρες
Ο αιώνας = 100 έτη = 1200 μήνες = 36.500 μέρες
Η χιλιετία = 10 αιώνες = 1000 έτη = 1.200.000 μήνες
Τι λέμε γωνία:
Για να καταλάβεις τι λέμε γωνία θα πρέπει να ξεκινήσεις από την κατανόηση της ευθείας γραμμής και της ημιευθείας.
Ευθεία γραμμή λέμε μια γραμμή η οποία δεν ξέρουμε την αρχή της ούτε το τέλος της δηλ. δεν γνωρίζουμε από που ξεκινάει και που τελειώνει.
Μια γραμμή που έχει αρχή αλλά δεν έχει τέλος λέγεται ημιευθεία (μισή ευθεία).
Γωνία ονομάζουμε το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από δύο ημιευθείες με κοινή (ίδια) αρχή.
Μια γωνία παρατηρούμε ότι έχει την κορυφή της (το σημείο από όπου ξεκινούν οι δύο ημιευθείες), τις πλευρές της και το άνοιγμά της με το οποίο παρατηρούμε πόσο μεγάλη ή μικρή είναι μια γωνία.
Οι γωνίες μετριούνται σε μοίρες και το όργανο με το οποίο τις μετρώ λέγεται μοιρογνωμόνιο.
Είδη γωνιών
Ανάλογα με το άνοιγμά της κάθε γωνία διακρίνεται σε οξεία (μικρότερη από 90 μοίρες), σεω ορθή (ίση με 90 μοίρες), σε αμβλεία (μεγαλύτερη από 90 μοίρες και μικρότερη από 180 μοίορες) και ευθεία γωνία που το ανοιγμά της είναι ίσο με 180 μοίρες.
Μέτρηση γωνιών
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω η μονάδα μέτρησης των γωνιών είναι οι μοίρες και το όργανο μέτρησής τους το μοιρογνωμόνιο.
Παρατηρούμε ότι το μοιρογνωμόνιο στο κάτω μέρος έχει ένα κυκλάκι με μια τρυπούλα στο κέντρο. Επίσης στο κάτω μέρος υπάρχει και μια χαραγμένη γραμμή που περνάει από το κέντρο της τρυπούλας. Όταν θέλουμε να μετρήσουμε μια γωνία, τποθετούμε την τρυπούλα που υπάρχει στο κυκλάκι ακριβώς πάνω στην κορυφή της γωνίας και ταυτόχρονα μετακινούμε το μοιρογνωμόνιο με τέτοιο τρόπο ώστε η χαραγμένη γραμμή να πέσει ακριβώς πάνω στη μια πλευρά της γωνίας. Αφού κάνουμε αυτά τα δύο βήματα κρατώντας σταθερά το μοιρογνωμόνιο παρατηρούμε από ποιον αριθμό του μοιρογνωμονίου περνάει η άλλη πλευρά της γωνίας. Αυτός ο αριθμός μας δείχνει πόσες μοίρες είναι η γωνία.
Προσοχή!
Αν η πλευρά της πέφτει ακριβώς στο αριστερό μέρος της ευθείας του μοιρογνωμονίου τότε μετράω με τους αριθμούς που είναι από την έξω μεριά του μοιρογνωμονίου. Αν πέφτει από δεξιά μετράω μετράω με τους αριθμούς που είναι από τη μέσα μεριά του μοιρογνωμονίου.
Εδώ θα βρεις μια καταπληκτική σελίδα όπου μπορείς να μετρήσεις γωνίες σύμφωνα με τον τρόπο που ανέλυσα παραπάνω.
Κατασκευή γωνίας
Έστω ότι θέλουμε να κατασκευάσουμε μια γωνία 60 μοιρών.
Πρώτα κατασκευάζουμε μια ημιευθεία (καλύτερα οριζόντια) δίνοντας ένα όνομα στην αρχή της (γράμμα κεφαλαίο). Η αρχή της ημιευθείας θα είναι η κορυφή της γωνίας. Στη συνέχεια τοποθετώ την τρυπούλα του κέντρου του μοιρογνωμονίου πάνω ακριβώς στην αρχή της ημιευθείας και ταυτόχρονα μετακινώ το μοιρογνωμόνιο με τέτοιο τρόπο ώστε η χαραγμένη γραμμή του μοιγνωμονίου να συμπέσει πάνω στην ημειευθεία. Κρατώ σταθερά το μοιρογνωμόνιο και βρίσκω τον αριθμό 60 και σημειώνω μια γραμμούλα πάνω στο τετράδιό μου δίπλα από το 60. Στη συνέχεια απομακρύνω το μοιρογνωμόνιο και με τον χάρακά μου ενώνω τη γραμμούλα με την αρχή της ημιευθείας. Με αυτόν τον τρόπο κατασκευάζω γωνία 60 μοιρών.
Με τον ίδιο τρόπο μπορώ να κατασκευάσω οποιαδήποτε γωνία.
Για να καταλάβεις τι λέμε γωνία θα πρέπει να ξεκινήσεις από την κατανόηση της ευθείας γραμμής και της ημιευθείας.
Ευθεία γραμμή λέμε μια γραμμή η οποία δεν ξέρουμε την αρχή της ούτε το τέλος της δηλ. δεν γνωρίζουμε από που ξεκινάει και που τελειώνει.
Μια γραμμή που έχει αρχή αλλά δεν έχει τέλος λέγεται ημιευθεία (μισή ευθεία).
Οι γωνίες μετριούνται σε μοίρες και το όργανο με το οποίο τις μετρώ λέγεται μοιρογνωμόνιο.
Είδη γωνιών
Ανάλογα με το άνοιγμά της κάθε γωνία διακρίνεται σε οξεία (μικρότερη από 90 μοίρες), σεω ορθή (ίση με 90 μοίρες), σε αμβλεία (μεγαλύτερη από 90 μοίρες και μικρότερη από 180 μοίορες) και ευθεία γωνία που το ανοιγμά της είναι ίσο με 180 μοίρες.
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω η μονάδα μέτρησης των γωνιών είναι οι μοίρες και το όργανο μέτρησής τους το μοιρογνωμόνιο.
Προσοχή!
Αν η πλευρά της πέφτει ακριβώς στο αριστερό μέρος της ευθείας του μοιρογνωμονίου τότε μετράω με τους αριθμούς που είναι από την έξω μεριά του μοιρογνωμονίου. Αν πέφτει από δεξιά μετράω μετράω με τους αριθμούς που είναι από τη μέσα μεριά του μοιρογνωμονίου.
Κατασκευή γωνίας
Έστω ότι θέλουμε να κατασκευάσουμε μια γωνία 60 μοιρών.
Πρώτα κατασκευάζουμε μια ημιευθεία (καλύτερα οριζόντια) δίνοντας ένα όνομα στην αρχή της (γράμμα κεφαλαίο). Η αρχή της ημιευθείας θα είναι η κορυφή της γωνίας. Στη συνέχεια τοποθετώ την τρυπούλα του κέντρου του μοιρογνωμονίου πάνω ακριβώς στην αρχή της ημιευθείας και ταυτόχρονα μετακινώ το μοιρογνωμόνιο με τέτοιο τρόπο ώστε η χαραγμένη γραμμή του μοιγνωμονίου να συμπέσει πάνω στην ημειευθεία. Κρατώ σταθερά το μοιρογνωμόνιο και βρίσκω τον αριθμό 60 και σημειώνω μια γραμμούλα πάνω στο τετράδιό μου δίπλα από το 60. Στη συνέχεια απομακρύνω το μοιρογνωμόνιο και με τον χάρακά μου ενώνω τη γραμμούλα με την αρχή της ημιευθείας. Με αυτόν τον τρόπο κατασκευάζω γωνία 60 μοιρών.
Πρώτα θα πρέπει να επαναφέρουμε στη μνήμη μας την πρόσθεση ή την αφαίρεση των ομωνύμων κλασμάτων. Υπενθυμίζουμε ότι ομώνυμα κλάσματα λέμε τα κλάσματα με τον ίδιο παρανομαστή. Η πρόσθεση και αφαίρεση ομωνύμων κλασμάτων είναι απλή αρκεί να προσθέσω ή να αφαιρέσω τους αριθμητές των κλασμάτων. Το άθροισμα θα έχει αριθμητή το άθροισμα των αριθμητών και παρονομαστή τον ίδιο. Στην αφαίρεση η διαφορά θα είναι ίση με τη διαφορά των αριθμητών, αρκεί το πρώτο κλάσμα δηλ. ο μειωτέος να είναι μεγαλύτερος από τον αφαιρέτη.
Παράδειγμα πρόσθεσης και αφαίρεσης ομωνύμων κλασμάτων
Σε προηγούμενα μαθήματα έχουμε μάθει να κάνουμε πρόσθεση και αφαίρεση ετερωνύμων κλασμάτων μετατρέποντας τα κλάσματα σε ισοδύναμα χρησιμοποιώντας για νέους παρανομαστές οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών. Στο μάθημα αυτό θα μάθουμε να μετατρέπουμε σε ισοδύναμα πάλι τα ετερώνυμα κλάσματα που θέλουμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε χρησιμοποιώντας για παρονομαστή όχι ένα οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών, αλλά το Ε.Κ.Π. αυτών.
Παράδειγμα
Σύμφωνα με το παράδειγμα έχουμε να προσθέσουμε τα ετερώνυμα 2/6, 4/5 και 12/60.
Βρίσκουμε πρώτα το Ε.Κ.Π των παρονομαστών. Παρατηρούμε ότι ο μεγαλύτερος παρονομαστής είναι το 60. Ελέγχουμε αν το 6 και το 5 χωράνε ακριβώς στο 60. Παρατηρούμε ότι χωράνε. Επομένος το Ε.Κ.Π των παρονομαστών είναι το 60.
Στη συνέχεια γράφουμε τρεις γραμμές κλάσματος και κάτω από κάθε γραμμή γράφουμε το 60 ως παρονομαστή. Στη θέση των αριθμητών γράφουμε τους αριθμητές των αρχικών κλασμάτων. Έπειτα ελέγχουμε πόσες φορές χωράει ο κάθε παρονομαστής των αρχικών κλασμάτων στο Ε.Κ.Π δηλ. το 60. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος χωράει 10 φορές, ο παρονομαστής του δεύτερου χωράει 12 φορές και ο παρον ομαστής του τρίτου χωράει 1 φορά. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε και έτσι προκύπτουν τα νέα ισοδύναμα κλάσματα που τώρα πια μπορούμε να τα προσθέσουμε.
Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης των ισοδυνάμων κλασμάτων καλό είναι να το μετατρέπουμε σε ανάγωγο κλάσμα.
Η ίδια διαδικασία γίνεται και για την αφαίρεση των ετερωνύμων κλασμάτων.
Παράδειγμα πρόσθεσης και αφαίρεσης ομωνύμων κλασμάτων
Παράδειγμα
Σύμφωνα με το παράδειγμα έχουμε να προσθέσουμε τα ετερώνυμα 2/6, 4/5 και 12/60.
Βρίσκουμε πρώτα το Ε.Κ.Π των παρονομαστών. Παρατηρούμε ότι ο μεγαλύτερος παρονομαστής είναι το 60. Ελέγχουμε αν το 6 και το 5 χωράνε ακριβώς στο 60. Παρατηρούμε ότι χωράνε. Επομένος το Ε.Κ.Π των παρονομαστών είναι το 60.
Στη συνέχεια γράφουμε τρεις γραμμές κλάσματος και κάτω από κάθε γραμμή γράφουμε το 60 ως παρονομαστή. Στη θέση των αριθμητών γράφουμε τους αριθμητές των αρχικών κλασμάτων. Έπειτα ελέγχουμε πόσες φορές χωράει ο κάθε παρονομαστής των αρχικών κλασμάτων στο Ε.Κ.Π δηλ. το 60. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος χωράει 10 φορές, ο παρονομαστής του δεύτερου χωράει 12 φορές και ο παρον ομαστής του τρίτου χωράει 1 φορά. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε και έτσι προκύπτουν τα νέα ισοδύναμα κλάσματα που τώρα πια μπορούμε να τα προσθέσουμε.
Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης των ισοδυνάμων κλασμάτων καλό είναι να το μετατρέπουμε σε ανάγωγο κλάσμα.
Η ίδια διαδικασία γίνεται και για την αφαίρεση των ετερωνύμων κλασμάτων.
Κοινά πολλαπλάσια αριθμών
Υποθέτουμε ότι έχουμε τρεις αριθμούς : 2, 4, 5Από αυτούς τους αριθμούς μας ζητούν να βρούμε τα κοινά τους πολλαπλάσια (ίδια πολλαπλάσια). Αρχίζω και βρίσκω τα πολλαπλάσια του κάθε αριθμού.
πολλαπλάσια του 2: 2, 4, 6, 8,10,12, 14,16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...
πολλαπλάσια του 4: 4, 8, 12,16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, ...
πολλαπλάσια του 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, ....
Αφού γράψω τα πολλαπλάσια παρατηρώ με προσοχή και εντοπίζω ποια από αυτά τα πολλαπλάσια και των τριών αριθμών (2,4, 5) είναι κοινά (ίδια).
Εντοπίζω ότι τα κοινά πολλαπλάσια είναι:
πολλαπλάσια του 2: 2, 4, 6, 8,10,12, 14,16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34,36, 38, 40, 42,
πολλαπλάσια του 4: 4, 8, 12,16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, ...
πολλαπλάσια του 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, ....
Κοινά πολλαπλάσια των 2,4,5 είναι οι αριθμοί: 20 και 40
Την ίδια διαδικασία ακολουθώ , αν μου πουν να βρω τα κοινά πολλαπλάσια και άλλων αριθμών.
Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο
Επανερχόμαστε στα κοινά πολλαπλάσια των παραπάνω αριθμών το 20 και το 40 και εντοπίζουμε ποιο από αυτά τα κοινά πολλαπλάσια είναι το ελάχιστο (μικρότερο).
Βρίσκω ότι είναι το 20.
Ο αριθμός 20 είναι το Ε.Κ.Π των αριθμών 2,4,5 ή Ε.Κ.Π (2,4,5)=20
Ένας άλλος τρόπος για να βρω το Ε. Κ.Π των αριθμών 2, 4, 5 είναι ο εξής:
Παίρνω τον μεγαλύτερο αριθμό από τους 2,4,5 που είναι το 5, τον διπλασιάζω 5Χ2=10
και προσπαθώ να δω αν οι υπόλοιποι αριθμοί δηλ. το 2 και 4 χωράνε στο 10. Παρατηρώ ότι το 2 χωράει ακριβώς στο 10, δε χωράει όμως το 4. Τότε τριπλασιάζω το 5Χ3=15. Και πάλι παρατηρώ ότι το 2 και το 4 δε χωράνε ακριβώς στο 15. Τετραπλασιάζω το 5, 5Χ4= 20. Παρατηρώ ότι τόσο το 2 όσο και το 4 χωράνε ακριβώς στο 20. Επομένως το Ε.Κ.Π. (2,4,5)=20.
Έστω ότι θέλω να βρω τα πολλαπάσια του 2, 5, 10.
Πολλαπλάσια του 2: 2, 4, 6,8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,26, 28, 32, 34, 36, 38, 40,...
Πολλαπλάσια του 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95,..
Πολλαπλάσια του 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160,.
Αν παρατηρήσω τα πολλαπλάσια του 2, συμπεραίνω ότι το ψηφίο των μονάδων είναι πάντοτε το 2,4,6,8, 0.
Αν παρατηρήσω τα πολλαπλάσια του 5, συμπεραίνω ότι το ψηφίο των μονάδων είναι πάντοτε το 0, 5.
Αν παρατηρήσω τα πολλαπλάσια του 10, συμπεραίνω ότι το ψηφίο των μονάδων είναι πάντοτε το 0.
Από τα παραπάνω πολλαπλάσια ας πάρουμε τυχαία το 75. Για το 75 μπορούμε να πούμε ότι είναι πολλαπλάσιο του 5 ή ότι το 5 είναι διαιρέτης του 75.
Λέγοντας ότι το 5 είναι διαιρέτης του 75 εννοούμε ότι τον διαιρεί ακριβώς χωρίς να αφήνει υπόλοιπο.
Από τα παραπάνω μπορούμε να συμπεράνουμε ότι:
Το 2 είναι διαιρέτης ενός αριθμού που το ψηφίο των μονάδων του λήγει σε 2,4,6,8,0
Το 5 είναι διαιρέτης ενός αριθμού που το ψηφίο των μονάδων λήγει σε 0,5.
Το 10 είναι διαιρέτης ενός αριθμού που το ψηφίο των μονάδων του λήγει σε 0.
Έχοντας υπόψη τα παραπάνω κριτήρια διαιρετότητας μπορούμε να βρούμε ποιος αριθμός είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης 213:5=;
Πολλαπλάσια του 2: 2, 4, 6,8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,26, 28, 32, 34, 36, 38, 40,...
Πολλαπλάσια του 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95,..
Πολλαπλάσια του 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160,.
Αν παρατηρήσω τα πολλαπλάσια του 2, συμπεραίνω ότι το ψηφίο των μονάδων είναι πάντοτε το 2,4,6,8, 0.
Αν παρατηρήσω τα πολλαπλάσια του 5, συμπεραίνω ότι το ψηφίο των μονάδων είναι πάντοτε το 0, 5.
Αν παρατηρήσω τα πολλαπλάσια του 10, συμπεραίνω ότι το ψηφίο των μονάδων είναι πάντοτε το 0.
Από τα παραπάνω πολλαπλάσια ας πάρουμε τυχαία το 75. Για το 75 μπορούμε να πούμε ότι είναι πολλαπλάσιο του 5 ή ότι το 5 είναι διαιρέτης του 75.
Λέγοντας ότι το 5 είναι διαιρέτης του 75 εννοούμε ότι τον διαιρεί ακριβώς χωρίς να αφήνει υπόλοιπο.
Από τα παραπάνω μπορούμε να συμπεράνουμε ότι:
Το 2 είναι διαιρέτης ενός αριθμού που το ψηφίο των μονάδων του λήγει σε 2,4,6,8,0
Το 5 είναι διαιρέτης ενός αριθμού που το ψηφίο των μονάδων λήγει σε 0,5.
Το 10 είναι διαιρέτης ενός αριθμού που το ψηφίο των μονάδων του λήγει σε 0.
Έχοντας υπόψη τα παραπάνω κριτήρια διαιρετότητας μπορούμε να βρούμε ποιος αριθμός είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης 213:5=;
Λύση
Ψάχνω να βρω το πολλαπλάσιο του 5 που είναι κοντά στο 213. Έχοντας υπόψη ότι τα πολλαπλάσια του 5 λήγουν σε 0 ή 5, είναι εύκολο να πω ότι το 210 είναι το πολλαπλάσιο του 5 που είναι κοντά στο 213. Επομένως το υπόλοιπο χωρίς να κάνω την πράξη της διαίρεσης είναι το 3.
Έστω ότι πολλαπλασιάζω τον αριθμό 5 με τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16....
Τότε θα έχω τα εξής αποτελέσματα:
5Χ1=5, 5Χ2=10, 5Χ3=15, 5Χ4=20, 5Χ5=25 5Χ6=30 5Χ7=35 5Χ8=40 5Χ9=45 5Χ10=50,
5Χ11=55, 5Χ12=60, 5Χ13=65, 5Χ14=70, 5Χ15=75, 5Χ16=80
Οι αριθμοί με το κόκκινο χρώμα, που είναι τα αποτελέσματα των πολλαπλασιασμών, λέγονται πολλαπλάσια του αριθμού 5.
Αν συνέχιζα τους παραπάνω πολλαπλασιασμούς τα επόμενα πολλαπλάσια του 5 θα ήταν τα 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130 και όλοι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 5 ή 0.
Δοκίμασε και συ να βρεις τα πολλαπλάσια των αριθμών 4, 8 και 12.
Έστω τώρα ότι ψάχνω να βρω ποιοι αριθμοί διαιρούν ακριβώς τον αριθμό 32. Δηλαδή ο αριθμός 32 είναι ο διαιρετέος και εγώ ψάχνω να βρω τους αριθμούς, τους διαιρέτες που διαιρούν ακριβώς το 32. 'Οπως παρατηρώ οι διαιρέτες θα είναι όπωσδήποτε μικρότεροι του 32. Αρχίζω πρώτα από το 2 παρατηρώ ότι το 2 διαιρεί το 32, 32:2=16, συνεχίζω με το 3 παρατηρώ ότι το 3 δεν διαιρεί ακριβώς το 32. Συνεχίζω με τον αριθμό 4. Παρατηρώ ότι 32:4=8, επομένως το 4 διαιρεί το 32. Ύστερα δοκιμάζω τον αριθμό 5 παρατηρώ ότι δεν τον δαιρεί. Πάω στο 6 επίσης. Στο 7 το ίδιο. Στο 8 παρατηρώ ότι 32 :8 = 4, επομένως το 8 διαιρεί τον αριθμό 32. Συνεχίζω με τους αριθμούς 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 και παρατηρώ ότι δεν διαιρούν ακριβώς το 32. Ο αριθμός 16 όμως τον διαιρεί 32:16=2, επομένως το 16 διαιρεί το 32. Οι αριθμοί από το 17, 18...31 που ξεπερνούν το μισό του 32 είναι φυσικό να μην τον διαιρούν. Τέλος φτάνω στον αριθμό 32 που διαιρεί τον εαυτό του δηλ. 32:32=1.
Από τα παραπάνω παρατηρώ ότι οι αριθμοί 2, 4, 8, 16, 32 διαιρούν τον αριθμό 32. Αυτούς τους αριθμούς θα τους ονομάζω διαιρέτες του αριθμού 32.
Προσπάθησε και συ τώρα να βρεις τους διαιρέτες των αριθμών 27, 48, 56
Τότε θα έχω τα εξής αποτελέσματα:
5Χ1=5, 5Χ2=10, 5Χ3=15, 5Χ4=20, 5Χ5=25 5Χ6=30 5Χ7=35 5Χ8=40 5Χ9=45 5Χ10=50,
5Χ11=55, 5Χ12=60, 5Χ13=65, 5Χ14=70, 5Χ15=75, 5Χ16=80
Οι αριθμοί με το κόκκινο χρώμα, που είναι τα αποτελέσματα των πολλαπλασιασμών, λέγονται πολλαπλάσια του αριθμού 5.
Αν συνέχιζα τους παραπάνω πολλαπλασιασμούς τα επόμενα πολλαπλάσια του 5 θα ήταν τα 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130 και όλοι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 5 ή 0.
Δοκίμασε και συ να βρεις τα πολλαπλάσια των αριθμών 4, 8 και 12.
Έστω τώρα ότι ψάχνω να βρω ποιοι αριθμοί διαιρούν ακριβώς τον αριθμό 32. Δηλαδή ο αριθμός 32 είναι ο διαιρετέος και εγώ ψάχνω να βρω τους αριθμούς, τους διαιρέτες που διαιρούν ακριβώς το 32. 'Οπως παρατηρώ οι διαιρέτες θα είναι όπωσδήποτε μικρότεροι του 32. Αρχίζω πρώτα από το 2 παρατηρώ ότι το 2 διαιρεί το 32, 32:2=16, συνεχίζω με το 3 παρατηρώ ότι το 3 δεν διαιρεί ακριβώς το 32. Συνεχίζω με τον αριθμό 4. Παρατηρώ ότι 32:4=8, επομένως το 4 διαιρεί το 32. Ύστερα δοκιμάζω τον αριθμό 5 παρατηρώ ότι δεν τον δαιρεί. Πάω στο 6 επίσης. Στο 7 το ίδιο. Στο 8 παρατηρώ ότι 32 :8 = 4, επομένως το 8 διαιρεί τον αριθμό 32. Συνεχίζω με τους αριθμούς 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 και παρατηρώ ότι δεν διαιρούν ακριβώς το 32. Ο αριθμός 16 όμως τον διαιρεί 32:16=2, επομένως το 16 διαιρεί το 32. Οι αριθμοί από το 17, 18...31 που ξεπερνούν το μισό του 32 είναι φυσικό να μην τον διαιρούν. Τέλος φτάνω στον αριθμό 32 που διαιρεί τον εαυτό του δηλ. 32:32=1.
Από τα παραπάνω παρατηρώ ότι οι αριθμοί 2, 4, 8, 16, 32 διαιρούν τον αριθμό 32. Αυτούς τους αριθμούς θα τους ονομάζω διαιρέτες του αριθμού 32.
Προσπάθησε και συ τώρα να βρεις τους διαιρέτες των αριθμών 27, 48, 56
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)
